Viršūnės forma: kas tai? Kaip jį apskaičiuoti?

feature_vertexformparaparae

Kai turėsite kvadratinę formulę ir kvadratinių lygčių pagrindus, atėjo laikas kitam jūsų santykių su parabolėmis lygiui: sužinoti apie jų viršūnės forma .

Skaitykite toliau, kad sužinotumėte daugiau apie parabolės viršūnės formą ir kaip konvertuoti kvadratinę lygtį iš standartinės formos į viršūnės formą.



funkcijos vaizdo kreditas: SBA73 /„Flickr“

Kodėl „Vertex Form“ yra naudinga? Apžvalga

The viršūnės forma lygtis yra alternatyvus būdas parašyti parabolės lygtį.

Paprastai matysite kvadratinę lygtį, parašytą kaip $ ax^2+bx+c $, kuri nubraižyta bus parabolė. Šioje formoje pakankamai lengva rasti lygties šaknis (kur parabolė patenka į $ x $ ašį), nustačius lygtį lygią nuliui (arba naudojant kvadratinę formulę).

Tačiau jei jums reikia rasti parabolės viršūnę, standartinė kvadratinė forma yra daug mažiau naudinga. Vietoj to, norėsite savo kvadratinę lygtį paversti viršūnės forma.

Kas yra viršūnės forma?

Nors standartinė kvadratinė forma yra $ ax^2+bx+c = y $, kvadratinės lygties viršūnių forma yra $ bi y = bi a ( bi x- bi h)^2+ bi k $.

Abiejose formose $ y $ yra $ y $ -koordinatė, $ x $ yra $ x $ -koordinatė, o $ a $ yra konstanta, nurodanti, ar parabolė nukreipta aukštyn ($+a $), ar žemyn ($-$). (Aš galvoju apie tai, lyg parabolė būtų obuolių padažo dubuo; jei yra $+a $, galiu į dubenį įpilti obuolių; jei yra $-$, galiu išplakti obuolių padažą.)

Skirtumas tarp parabolės standartinės formos ir viršūnės formos yra tas, kad lygties viršūnės forma taip pat suteikia jums parabolės viršūnę: $ (h, k) $.

Pavyzdžiui, pažvelkite į šią puikią parabolę, $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $:

body_afineparabola

Remiantis grafiku, atrodo, kad parabolės viršūnė yra kažkas panašaus į (-1,5, -2), tačiau vien iš grafiko sunku tiksliai pasakyti, kur yra viršūnė. Laimei, remiantis lygtimi $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $, mes žinome, kad šios parabolės viršūnė yra $ (-4/3, -2) $.

Kodėl viršūnė yra $ (-4/3, -2) $, o ne $ (4/3, -2) $ (išskyrus grafiką, o tai aiškiai parodo $ x $-ir $ y $ koordinates) viršūnė yra neigiama)?

Prisiminti: viršūnių formos lygtyje $ h $ atimama ir pridedama $ k $ . Jei turite neigiamą $ h $ arba neigiamą $ k $, turėsite įsitikinti, kad atimate neigiamą $ h $ ir pridėsite neigiamą $ k $.

Šiuo atveju tai reiškia:

$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 = 3 (x- (- 4/3)) ^ 2 + (- 2) $

taigi viršūnė yra $ (-4/3, -2) $.

Rašydami parabolę viršūnės pavidalu, visada turėtumėte dar kartą patikrinti savo teigiamus ir neigiamus ženklus , ypač jei viršūnėje nėra teigiamų $ x $ ir $ y $ verčių (arba jums ten esantiems kvadrantams, jei jos nėra I kvadrante). Tai panašu į patikrinimą, kurį atliktumėte, jei išspręstumėte kvadratinę formulę ($ x = {-b ± √ {b^2-4ac}}/{2a} $), ir tai būtina norint įsitikinti, kad išlaikėte teigiamą ir neigiamus tik $ a $ s, $ b $ s ir $ c $ s.

Žemiau yra lentelė, kurioje pateikiami keli kitų parabolės viršūnių formų lygčių pavyzdžiai kartu su jų viršūnėmis. Ypač atkreipkite dėmesį į parabolės viršūnės formos $ (x-h)^2 $ dalies skirtumą, kai viršūnės $ x $ koordinatė yra neigiama.

Parabolos viršūnės forma

Viršūnės koordinatės

$ y = 5 (x-4) ^ 2 + 17 $

(4,17) USD

$ y = 2/3 (x-8) ^ 2-1 / 3 $

$ (8, -1 / 3) $

$ y = 144 (x + 1/2) ^ 2-2 $

( - 1/2, -2) USD

$ y = 1,8 (x + 2,4) ^ 2 + 2,4 $

(- 2,4,2,4) USD

Kaip konvertuoti iš standartinės kvadratinės formos į viršūnę

Dažniausiai, kai jūsų paprašys konvertuoti kvadratines lygtis tarp skirtingų formų, iš standartinės formos ($ ax^2+bx+c $) pereisite į viršūnių formą ($ a (xh)^2+k $ ).

Jūsų lygties konvertavimas iš standartinės kvadratinės į viršūnės formą apima veiksmų, vadinamų kvadrato užbaigimu, rinkinį. (Norėdami daugiau sužinoti apie kvadrato užbaigimą, būtinai perskaitykite šį straipsnį.)

Panagrinėkime pavyzdį, kaip lygtį paversti iš standartinės formos į viršūnės formą. Pradėsime nuo lygties $ y = 7x^2+42x-3/14 $.

Pirmas dalykas, kurį norite padaryti, yra perkelti konstantą arba terminą be $ x $ arba $ x^2 $. Šiuo atveju mūsų konstanta yra -3/14 $. (Mes žinome, kad tai neigiamas $ 3/14 $, nes standartinė kvadratinė lygtis yra $ ax^2+bx+c $, o ne $ ax^2+bx-c $.)

Pirma, paimsime $ -3/14 $ ir perkelsime ją į kairę lygties pusę:

$ y + 3/14 = 7x ^ 2 + 42x $

Kitas žingsnis yra apskaičiuoti 7 ($ a $ vertė lygtyje) iš dešinės pusės, taip:

$ y + 3/14 = 7 (x ^ 2 + 6x) $

Puiku! Ši lygtis daug labiau primena viršūnių formą, $ y = a (x-h)^2+k $.

Šiuo metu jūs galvojate: „Viskas, ką man dabar reikia padaryti, tai perkelti 3/14 USD atgal į dešinę lygties pusę, tiesa?“ Deja, ne taip greitai.

Jei pažvelgsite į dalį skliausteliuose esančios lygties, pastebėsite problemą: tai nėra $ (x-h)^2 $ forma. Yra per daug $ x $ s! Taigi mes dar ne visai baigėme.

Tai, ką turime padaryti dabar, yra sunkiausia - užbaigti aikštę.

Pažvelkime atidžiau į $ x^2+6x $ lygties dalį. Kad $ (x^2+6x) $ padarytume kažką panašaus į $ (xh)^2 $, skliausteliuose turėsime pridėti konstantą ir prisiminti pridėti tą konstantą ir kitoje lygties pusėje (nes lygtis turi likti subalansuota).

Norėdami tai nustatyti (ir įsitikinkite, kad nepamiršime pridėti konstantos kitoje lygties pusėje), mes sukursime tuščią erdvę, kurioje konstanta bus abiejose lygties pusėse:

$ y + 3/14 + 7 ($ $) = 7 (x ^ 2 + 6x + $ $) $

Atkreipkite dėmesį, kad kairėje lygties pusėje mes būtinai įtraukėme savo $ a $ reikšmę 7 priešais erdvę, kur bus mūsų konstanta; taip yra todėl, kad mes ne tik pridedame konstantą prie dešinės lygties pusės, bet ir dauginame konstantą iš to, kas yra skliausteliuose. (Jei jūsų $ a $ vertė yra 1, jums nereikia dėl to jaudintis.)

Kitas žingsnis - užbaigti aikštę. Šiuo atveju užpildomas kvadratas yra skliausteliuose esanti lygtis - pridėję konstantą, paversite ją lygtimi, kurią galima parašyti kaip kvadratą.

Norėdami apskaičiuoti šią naują konstantą, paimkite vertę šalia $ x $ (šiuo atveju 6), padalinkite ją iš 2 ir kvadratą.

$ (6/2)^2 = (3)^2 = 9 $. Konstanta yra 9.

Priežastis, dėl kurios mes perpus sumažiname 6 ir kvadratą, žinome, kad $ (x+p) (x+p) $ (tai yra tai, ką mes bandome pasiekti) lygtyje $ px+px = 6x $, taigi $ p = 6/2 $; kad gautume pastoviąją $ p^2 $, mes turime paimti $ 6/2 $ (mūsų $ p $) ir kvadratą.

Dabar tuščią vietą abiejose mūsų lygties pusėse pakeiskite konstanta 9:

$ y + 3/14 + 7 (9) = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

$ y + 63 {3/14} = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

Tada įveskite lygtį skliausteliuose. Kadangi kvadratą užbaigėme, galėsite jį įvertinti kaip $ (x+{ some number})^2 $.

$ y + 63 {3/14} = 7 (x + 3) ^ 2 $

Paskutinis žingsnis: perkelkite ne $ y $ vertę iš kairės lygties pusės atgal į dešinę:

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

kada gausite kolegijos priėmimo laiškus

Sveikinu! Jūs sėkmingai konvertavote lygtį iš standartinės kvadratinės į viršūnės formą.

Dabar dauguma problemų ne tik paprašys jūsų konvertuoti lygtis iš standartinės formos į viršūnių formą; jie norės, kad jūs iš tikrųjų nurodytumėte parabolės viršūnės koordinates.

Kad nebūtų apgauti ženklų pakeitimų, parašykime bendrą viršūnės formos lygtį tiesiai virš ką tik apskaičiuotos viršūnės formos lygties:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

Ir tada mes galime lengvai rasti $ h $ ir $ k $:

$ -h = 3 $

$ h = -3 $

$ + k = -63 {3/14} USD

Šios parabolės viršūnė yra koordinatėse $ (-3, -63 {3/14}) $.

Oho, tai buvo daug maišomų skaičių! Laimei, lygčių konvertavimas kita kryptimi (iš viršūnės į standartinę formą) yra daug paprastesnis.

body_shufflearoundnumbers

Kaip konvertuoti iš „Vertex Form“ į standartinę formą

Lygčių konvertavimas iš jų viršūnių formos į įprastą kvadratinę formą yra daug paprastesnis procesas: viskas, ką jums reikia padaryti, yra padauginti viršūnės formą.

Paimkime ankstesnės lygties pavyzdį, $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $. Norėdami tai paversti standartine forma, tiesiog išplečiame dešinę lygties pusę:

$$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $$

$ $ y = 3 (x + 4/3) (x + 4/3) -2 $ $

$$ y = 3 (x ^ 2 + {8/3} x + 16/9) -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} - {6/3} $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + 10/3 $$

Tada! Sėkmingai konvertavote $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $ į formą $ ax^2+bx+c $.

body_vertexformquestions

Parabolos viršūnės formos praktika: pavyzdiniai klausimai

Norėdami užbaigti šį viršūnių formos tyrimą, turime keturių problemų pavyzdžių ir paaiškinimų. Prieš skaitydami paaiškinimus, pažiūrėkite, ar galite patys išspręsti problemas!

#1: Kokia yra kvadratinės lygties $ x^2+ 2.6x+ 1.2 $ viršūnių forma?

#2: Konvertuokite $ 7y = 91x^2-112 $ lygtį į viršūnės formą. Kas yra viršūnė?

#3: Turint omenyje lygtį $ y = 2 (x-3/2)^2-9 $, kokios yra $ x $ koordinatės, kur ši lygtis susikerta su $ x $ ašimi?

#4: Raskite parabolės viršūnę $ y = ({1/9} x-6) (x+4) $.

body_vertexformsolutions

Parabolos viršūnės formos praktika: sprendimai

#1: Kokia yra kvadratinės lygties $ { bi x^2}+ 2.6 bi x+ 1.2 $ viršūnių forma?

Pradėkite atskirdami ne $ x $ kintamąjį kitoje lygties pusėje:

$ y-1,2 = x ^ 2 + 2,6x $

Kadangi mūsų $ a $ (kaip $ ax^2+bx+c $) pradinėje lygtyje yra lygus 1, mums nereikia jo skaičiuoti iš dešinės pusės (nors jei norite, galite parašyti $ y-1,2 = 1 (x^2+2,6x) $).

Tada padalinkite $ x $ koeficientą (2.6) iš 2 ir kvadratuokite, tada gautą skaičių pridėkite prie abiejų lygties pusių:

$ (2,6 / 2) ^ 2 = (1,3) ^ 2 = 1,69 USD

y-1,2 + 1 (1,69) = 1 (x ^ 2 + 2,6x + 1,69) $

Skaičiuoklėse esančią lygties dešiniąją pusę įvertinkite taip:

y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

Galiausiai sujunkite konstantas kairėje lygties pusėje, tada perkelkite jas į dešinę.

y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

$ y + 0,49 = (x + 1,3) ^ 2 $

Mūsų atsakymas yra $ y = (x+1.3)^2-0.49 $.

#2: paverskite lygtį $ 7 bi y = 91 bi x^2-112 $ į viršūnės formą. Kas yra viršūnė?

Konvertuodami lygtį į viršūnės formą, norite, kad $ y $ koeficientas būtų 1, todėl pirmas dalykas, kurį ketiname padaryti, yra padalinti abi šios lygties puses iš 7:

7 USD = 91x^2-112 USD

$ {7y}/7 = {91x^2}/7-112/7 $

$ y = 13x ^ 2-16 $

labiausiai suderinami ženklai su Vandeniu

Tada perkelkite konstantą į kairę lygties pusę:

$ y + 16 = 13x ^ 2 $

Išskaičiuokite $ x^2 $ skaičiaus ($ a $) koeficientą iš dešinės lygties pusės

$ y + 16 = 13 (x ^ 2) $

Dabar paprastai turite užpildyti kvadratą dešinėje lygties pusėje skliausteliuose. Tačiau $ x^2 $ jau yra kvadratas, todėl jums nereikia nieko daryti, išskyrus konstantos perkėlimą iš kairės lygties pusės į dešinę:

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $.

Dabar raskite viršūnę:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $

$ -h = 0 $, taigi $ h = 0 $

$+k = -16 $, taigi $ k = -16 $

Parabolės viršūnė yra $ (0, -16) $.

#3: Turint omenyje lygtį $ bi y = 2 ( bi x-3/2)^2-9 $, kas yra $ bi x $ -koordinatė, kurioje ši lygtis susikerta su $ bi x $ ašis?

Kadangi klausime prašoma surasti lygties $ x $ sąsają, pirmiausia reikia nustatyti $ y = 0 $.

$ y = 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $.

Dabar yra keletas būdų, kaip eiti iš čia. Kvailas būdas yra pasinaudoti tuo, kad į viršūnių formos lygtį jau yra parašytas kvadratas.

Pirma, mes perkelsime konstantą į kairę lygties pusę:

0 USD = 2 (x-3/2) ^ 2–9 USD

9 USD = 2 (x-3/2) ^ 2 $

Toliau abi lygties puses padalinsime iš 2:

9/2 USD = (x-3/2) ^ 2 $

Dabar slypi dalis. Paimkite abiejų lygties pusių kvadratinę šaknį:

$ √ (9/2) = √ {(x-3/2) ^ 2} $

$ ± 3 / {√2} = (x-3 /2) $

$ ± {{3√2} / 2} = x- {3/2} $

$ {3√2}/2 = x- {3/2} $ ir {-3√2}/2 = x- {3/2} $

$ x = 3/2+{3√2}/2 $ ir $ x = 3/2- {3√2}/2 $

Arba galite rasti lygties šaknis, pirmiausia konvertuodami lygtį iš viršūnės formos atgal į standartinę kvadratinės lygties formą, tada naudodami kvadratinę formulę, kad ją išspręstumėte.

Pirmiausia padauginkite dešinę lygties pusę:

0 USD = 2 (x- {3/2}) ^ 2–9 USD

0 USD = 2 (x^2- {6/2} x+{9/4})-9 USD

0 USD = 2x ^ 2-6x + {9/2} -9 USD

Tada sujunkite panašius terminus:

0 USD = 2x ^ 2-6x-9/2 $

Šiuo metu galite pasirinkti pabandyti ir patys išsiaiškinti faktoringą bandydami ir suklydę, arba prijungti lygtį prie kvadratinės formulės. Jei matau koeficientą šalia $ x^2 $, paprastai aš pagal nutylėjimą naudoju kvadratinę formulę, o ne stengiuosi viską laikyti tiesiai savo galvoje, taigi, pažiūrėkime čia.

Prisiminkite, kad $ 2x^2-6x-9/2 $ yra $ ax^2+bx+c $:

$ x = {-b ± √ {b^2-4ac}}/{2a} $

$ x = {- (- 6) ± √ {(- 6) ^ 2-4 (2) (- 9/2)}} / {2 (2)} $

x $ = {6 ± √ {36-4 (-9)}} / 4 USD

x $ = {6 ± √ {36 + 36}} / 4 USD

x $ = {6 ± √ {72}} / 4 USD

$ x = {6+6√2}/4 $ ir $ x = {-6-6√2}/4 $

$ x = 3/2+{3√2}/2 $ ir $ x = 3/2- {3√2}/2 $

#4: Raskite parabolės viršūnę $ bi y = ({1/9} bi x-6) ( bi x+4) $.

Pirmiausia reikia padauginti $ y = ({1/9} x-6) (x+4) $, kad konstanta būtų atskirta nuo $ x $ ir $ x^2 $ sąlygų.

y = {1/9} {x ^ 2} + (- 6+ {4/9}) x-24

Tada perkelkite konstantą į kairę lygties pusę.

$ y + 24 = {1/9} {x ^ 2} - {50/9} x $

Išskaičiuokite $ a $ reikšmę iš dešinės lygties pusės:

$ y + 24 = {1/9} (x ^ 2-50x) $

Sukurkite tarpą kiekvienoje lygties pusėje, kur pridėsite konstantą, kad užbaigtumėte kvadratą:

$ y + 24 + 1/9 ($) = {1/9} (x ^ 2-50x + $) $

Apskaičiuokite konstantą, padalinę $ x $ termino koeficientą per pusę, tada kvadratą:

$ (- 50/2) ^ 2 = (- 25) ^ 2 = 625 USD

Įterpkite apskaičiuotą konstantą atgal į lygtį iš abiejų pusių, kad užpildytumėte kvadratą:

$ y + 24 + {1/9} (625) = {1/9} (x ^ 2-50x + 625) $

Sujunkite panašius terminus kairėje lygties pusėje ir skliausteliuose nurodykite dešinę lygties pusę:

$ y + {216/9} + {625/9} = {1/9} (x-25) ^ 2

$ y + {841/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

Perkelkite konstantą kairėje lygties pusėje atgal į dešinę:

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

Lygtis yra viršūnės pavidalo, oho! Dabar, norėdami rasti parabolės viršūnę:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

$ -h = -25 $, taigi $ h = 25 $

$+k =-{841/9} ≈-93,4 $ (suapvalinta)

Parabolės viršūnė yra ties (25, -93,4) USD.

body_parabolaquadraticform

Įdomios Straipsniai

Marijos universiteto priėmimo reikalavimai

Klarko universiteto SAT rezultatai ir GPA

Kalifornijos menų koledžas SAT ir GPA

Dalaso baptistų universiteto priėmimo reikalavimai

Tikimybės klausimai apie ACT matematiką: strategijos ir praktika

Tikimybės problemos, susijusios su ACT matematika, klausia tikimybės, kad kažkas nutiks. Įsitikinkite, kad žinote mūsų svarbiausias strategijas, kaip spręsti šias problemas, ir praktikuokite realistinius matematikos klausimus čia.

Wingate universiteto ACT rezultatai ir GPA

Vusterio politechnikos instituto SAT balai ir GPA

Karaliaus kolegijos priėmimo reikalavimai

Trumano valstybinio universiteto priėmimo reikalavimai

Garden Grove vidurinė mokykla | 2016-17 reitingai | (Sodo giraitė,)

Raskite valstijų reitingus, SAT/ACT balus, AP klases, mokytojų svetaines, sporto komandas ir dar daugiau apie „Garden Grove“ vidurinę mokyklą „Garden Grove“, CA.

Neišsamus dominavimas prieš bendrumą: koks skirtumas?

Kuo skiriasi nepilnas dominavimas ir bendrumas? Sužinokite išsamią informaciją apie kiekvieną, lygindami kodominansą su neišsamiu dominavimu.

Ką reikia žinoti apie William C. Overfelt High School

Raskite valstijų reitingus, SAT/ACT balus, AP klases, mokytojų svetaines, sporto komandas ir dar daugiau apie William C. Overfelt High School San Chosė, CA.

Kas yra vasaros gabių institutas? Ar turėtumėte prisijungti?

Kaip veikia Vasaros gabiųjų institutas ir ar turėtumėte prisijungti? Ar turėtumėte atlikti dienos programą ar gyventi? Skaitykite išsamią apžvalgą čia.

Humboldto valstybinio universiteto priėmimo reikalavimai

Bardo koledžo priėmimo reikalavimai

William Jessup universiteto priėmimo reikalavimai

4 nuostabūs rekomendacijų laiškų pavyzdžiai studentams

Norite stiprių rekomendacijų laiškų kolegijai pavyzdžių? Čia yra 4 nuostabūs raidžių pavyzdžiai su analize, kodėl jie tokie geri.

Luizianos valstijos universiteto Šreveporto priėmimo reikalavimai

Vakarų vidurinė mokykla | 2016-17 reitingai | (Torrance,)

Raskite valstijų reitingus, SAT/ACT balus, AP klases, mokytojų svetaines, sporto komandas ir daugiau apie Vakarų vidurinę mokyklą Torrance, CA.

Kodėl rekomendacijos yra svarbios jūsų kolegijos paraiškai?

Kodėl rekomendaciniai laiškai yra tokie svarbūs jūsų kolegijos paraiškai? Sužinokite, kaip priėmimo pareigūnai juos naudoja ir kodėl turite gauti stiprias raides.

Regento universiteto SAT balai ir GPA

Kokioms vidurinių mokyklų klasėms reikia „Ivy League“ mokyklų?

Kokie yra „Ivy League“ priėmimo reikalavimai? Šiame vadove paaiškinama, kurias vidurinės mokyklos klases reikia lankyti norint patekti į „Ivy League“ mokyklą.

7 žingsniai norint tapti gydytoju: išsamus vadovas

Galvojate apie medicinos karjerą? Mūsų išsamus vadovas jums padės, kaip tapti gydytoju, nuo vidurinės mokyklos iki rezidentūros, ir pateikia ekspertų patarimų, kaip sėkmingai dirbti.

Ką pamatyti 10 geriausių Londono muziejų

Ieškote geriausių Londono muziejų? Mes siūlome 10 puikių variantų (iš kurių daugelis yra nemokami) su patarimais, kaip maksimaliai išnaudoti savo apsilankymą.

Havajų universitetas, Manoa, ACT balai ir GPA