3 ekspertų patarimai, kaip naudoti vieneto ratą

feature_wikimedia_unit_circle

Jei studijuojate trigerį ar skaičiavimą arba ruošiatės tam, turėsite susipažinti su vienetų ratu. Vienetinis apskritimas yra esminis įrankis, naudojamas kampo sinusui, kosinusui ir liestinei spręsti. Bet kaip tai veikia? Ir kokią informaciją turite žinoti, kad galėtumėte ja naudotis?

Šiame straipsnyje mes paaiškiname, kas yra vienetų ratas ir kodėl turėtumėte tai žinoti. Taip pat pateikiame tris patarimus, kurie padės prisiminti, kaip naudoti vienetų ratą.



Funkcijos vaizdas: Gustavb /Wikimedia

Vieneto ratas: pagrindinis įvadas

Vienetinis apskritimas yra apskritimas, kurio spindulys yra 1. Tai reiškia, kad bet kokia tiesi linija, nubrėžta iš apskritimo centro taško į bet kurį apskritimo krašto tašką, tos linijos ilgis visada bus lygus 1. (Tai taip pat reiškia, kad apskritimo skersmuo bus lygus 2, nes skersmuo lygus dvigubam spindulio ilgiui.)

Paprastai vieneto apskritimo centras yra ta vieta, kurioje susikerta x ašis ir y ašis, arba ties koordinatėmis (0, 0):

body_wikimedia_unit_circle

Vienetinis apskritimas arba dar vadinamas apskritimo ratas yra naudingas žinoti, nes tai leidžia lengvai apskaičiuoti kosinusą, sinusą ir liestinę bet kokiu kampu nuo 0 ° iki 360 ° (arba 0 ir 2π radianų).

smulkmenos klausimai ir atsakymai suaugusiems

Kaip matote aukščiau esančioje diagramoje, nubrėžę spindulį bet kokiu kampu (paveikslėlyje pažymėtas ∝), sukursite stačiakampį trikampį. Šiame trikampyje kosinusas yra horizontali linija, o sinusas - vertikali linija. Kitaip tariant, kosinusas =x koordinatė ir sinusas = y koordinatė. (Ilgiausia trikampio linija arba hipotenuzė yra spindulys, todėl lygi 1).

Kodėl visa tai svarbu? Atminkite, kad trikampio kraštinių ilgius galite išspręsti naudodami Pitagoro teorema, arba $ a^2+b^2 = c^2 $ (kuriame į ir b yra trikampio kraštinių ilgiai ir c yra hipotenuzės ilgis).

Mes žinome, kad kampo kosinusas yra lygus horizontalios linijos ilgiui, sinusas yra lygus vertikalios linijos ilgiui, o hipotenuzė lygi 1. Todėl galime pasakyti, kad bet kurio stačiakampio vieneto apskritimo formulė yra tokia:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 ^ 2 $$

Kadangi $ 1^2 = 1 $, mes galime supaprastinti šią lygtį taip:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 $$

Žinok tai šios vertės gali būti neigiamos priklausomai nuo susidariusio kampo ir į kokį kvadrantą patenka x ir y koordinatės (tai išsamiau paaiškinsiu vėliau).

Čia yra visų pagrindinių kampų laipsniais ir radianais apskritimo apskritime apžvalga:

body_unit_circle_degrees

Vieneto ratas - laipsniai

body_unit_circle_radians

Vieneto apskritimas - radianai

Bet kas, jei nėra trikampio? Pažiūrėkime kas atsitinka, kai kampas yra 0 °, sukuriant horizontalią tiesę išilgai x ašies:

body_unit_circle_cos_1_sin_0

Šioje tiesėje x koordinatė lygi 1, o y-0. Mes tai žinome kosinusas yra lygus x koordinatės, o sinusas-y koordinatės, todėl galime parašyti taip:

  • $ cos0 ° = 1 $
  • $ sin0 ° = 0 $

Kas, jeigu kampas yra 90 ° ir sudaro visiškai vertikalią liniją išilgai y ašies?

body_unit_circle_cos_0_sin_1

Čia matome, kad x koordinatė lygi 0, o y koordinatė lygi 1. Tai suteikia mums šias sinuso ir kosinuso vertes:

  • $ cos90 ° = 0 $
  • $ sin90 ° = 1 $

body_know_your_enemy Šis šūkis tikrai tinka, jei nesate matematikos mylėtojas.



Kodėl turėtumėte žinoti vieneto ratą

Kaip minėta aukščiau, vienetų ratas yra naudingas, nes tai leidžia mums lengvai išspręsti bet kokio laipsnio ar radianų sinusus, kosinusus ar liestines. Ypač naudinga žinoti vienetų apskritimo diagramą, jei jums reikia išspręsti tam tikras matematikos namų užduočių vertes arba jei ruošiatės mokytis skaičiavimo.

Bet kaip tiksliai gali padėti žinant vienetų ratą? Tarkime, kad matematikos egzamino metu jums buvo pateikta ši problema - ir taip ne leidžiama išspręsti problemą naudojant skaičiuotuvą:

$ $ sin30 ° $$

Nuo ko pradėti? Dar kartą pažvelkime į vienetų apskritimo diagramą - šį kartą su visais pagrindiniais kampais (tiek laipsniais, tiek radianais) ir atitinkamomis jų koordinatėmis:

body_wikimedia_unit_circle_complete_chart Džimas. Belkas /Wikimedia

Neapsigaukite! Atminkite, kad sprendžiate tik $ sin30 ° $. Žiūrėdami į šią diagramą, galime tai pamatyti y koordinatė lygi $ 1/2 $ esant 30 °. Ir kadangi y koordinatė yra sinusas, mūsų atsakymas yra toks:

$$ sin30 ° = 1/2 $ $

Bet ką daryti, jei kyla problema, kai vietoj laipsnių naudojami radianai? Jo sprendimo procesas vis dar tas pats. Tarkime, kad susiduriate su problema, kuri atrodo taip:

$$ cos {{3π} / 4} $$

Vėlgi, naudojant aukščiau pateiktą diagramą, matome, kad $ {3π}/4 $ (tai yra 135 °) x koordinatė (arba kosinusas) yra $-{√2}/2 $. Štai kaip atrodytų mūsų atsakymas į šią problemą:

$$ cos ({3π} / 4) = - {√2} / 2 $$

Visa tai yra gana paprasta, jei aukščiau pateiktą vienetų apskritimo diagramą galite naudoti kaip nuorodą. Tačiau dažniausiai (jei ne visą laiką) to nebus, ir tikimasi, kad atsakysite į tokius matematikos klausimus, naudodami tik savo smegenis.

Taigi, kaip prisiminti vieneto ratą? Skaitykite mūsų geriausius patarimus!

Kaip prisiminti vieneto ratą: 3 esminiai patarimai

Šiame skyriuje pateikiame jums geriausius patarimus, kaip prisiminti trigerio ratą, kad galėtumėte lengvai jį naudoti bet kuriai matematikos užduočiai, kuriai to reikia.

body_remember_note Nerekomenduočiau praktikuoti vienetų rato su post-it, bet, ei, tai pradžia.

#1: įsiminkite bendrus kampus ir koordinates

Norėdami efektyviai naudoti vienetų ratą, turėsite tai padaryti įsiminti dažniausiai pasitaikančius kampus (tiek laipsniais, tiek radianais), taip pat juos atitinkančias x ir y koordinates.

Aukščiau pateikta schema yra naudinga vienetų apskritimo diagrama, kurią reikia pažvelgti, nes ji apima visus pagrindinius kampus tiek laipsniais, tiek radianais, be atitinkamų koordinačių taškų išilgai x ir y ašių.

Čia yra lentelė, kurioje pateikiama ta pati informacija lentelės pavidalu:

Kampas (laipsniai) Kampas (radianai) Taško ant apskritimo koordinatės
0 ° / 360 ° 0 / 2π (1, 0)
30 ° $ π / 6 $ $ ({√3} / 2, 1/2) $
45 ° $ π / 4 $ $ ({√2} / 2, {√2} / 2) $
60 ° $ π / 3 $ $ (1/2, {√3} / 2) USD
90 ° $ π / 2 $ (0, 1)
120 ° {2π} USD / 3 USD $ (- 1/2, {√3} / 2) USD
135 ° {3π} USD / 4 USD $ (- {√2} / 2, {√2} / 2) $
150 ° {5π} USD / 6 USD $ (- {√3} / 2, 1/2) USD
180 ° Pi (-1, 0)
210 ° {7} USD / 6 USD $ ( - {√3} / 2, -1/2) USD
225 ° {5π} USD / 4 USD $ ( - {√2} / 2, - {√2} / 2) USD
240 ° {4π} USD / 3 USD $ ( - 1/2, - {√3} / 2) USD
270 ° {3π} USD / 2 USD (0, -1)
300 ° {5π} USD / 3 USD $ (1/2, - {√3} / 2) USD
315 ° {7π} USD / 4 USD $ ({√2} / 2, - {√2} / 2) USD
330 ° {11π} USD / 6 USD $ ({√3} / 2, -1/2) USD

Dabar, nors esate labiau laukiami, kai bandote įsiminti visas šias koordinates ir kampus, tai yra daug dalykų, kuriuos reikia prisiminti.

Laimei, yra triukas, kurį galite naudoti, kad padėtų jums prisiminti svarbiausias vieneto rato dalis.

Pažvelkite į aukščiau pateiktas koordinates ir pastebėsite aiškų modelį: visus taškus (išskyrus 0 °, 90 °, 270 ° ir 360 ° kampus) kaitaliojasi tik trys vertės (teigiamos ar neigiamos):

  • 1 USD / 2 USD
  • {√2} USD / 2 USD
  • {√3} USD / 2 USD

Kiekviena vertė atitinka trumpa, vidutinė arba ilga kosinuso ir sinuso eilutė:

texas-austin universitetas

body_unit_circle_cos_lines

body_unit_circle_sin_lines

Štai ką reiškia šie ilgiai:

  • Trumpa horizontali arba vertikali linija = 1 USD / 2 USD
  • Vidutinė horizontali arba vertikali linija = $ {√2} / 2 $
  • Ilga horizontali arba vertikali linija = $ {√3} / 2 $

Pavyzdžiui, jei bandote išspręsti $ cos {π/3} $, turėtumėte iš karto žinoti, kad šis kampas (lygus 60 °) rodo vieneto apskritime trumpa horizontali linija. Todėl, atitinkama jo x koordinatė turi būti lygi 1/2 USD (teigiama reikšmė, nes $ π/3 $ sukuria tašką pirmajame koordinačių sistemos kvadrante).

Galiausiai, nors naudinga įsiminti visus aukščiau pateiktos lentelės kampus, atkreipkite dėmesį į tai iki šiol svarbiausi kampai, kuriuos reikia atsiminti, yra šie:

  • 30 ° / $ π / 6 $
  • 45 ° / $ π / 4 $
  • 60 ° / $ π / 3 $

body_positive_negative_cables Laikykite savo neigiamus ir teigiamus dalykus taip, kaip elgtumėtės su kabeliais, kurie netinkamai prijungę gali jus užmušti.

#2: Sužinokite, kas yra neigiama ir kas teigiama

Labai svarbu sugebėti atskirti teigiamas ir neigiamas x ir y koordinates, kad rastumėte tinkamą trigerio problemos vertę. Kaip priminėjas, į nuo to vieneto apskritimo koordinatė bus teigiama arba neigiama kuris kvadrantas (I, II, III ar IV) taškas patenka į:

body_unit_circle_quadrants

Štai diagrama, rodanti, ar koordinatė bus teigiama, ar neigiama, atsižvelgiant į kvadrantą, kuriame yra konkretus kampas (laipsniais ar radianais):

Kvadrantas X koordinatė (kosinusas) Y koordinatė (sinusas)
+ +
il - +
III - -
IV + -

Pvz., Tarkime, kad matematikos teste jums pateikiama ši problema:

$ $ cos210 ° $ $

Prieš bandydami tai išspręsti, turėtumėte suprasti, kad atsakymas bus neigiamas skaičius kadangi kampas 210 ° patenka į III kvadrantą (kur yra x koordinatės visada neigiamas).

Dabar, naudodami gudrybę, kurią išmokome 1 patarime, galite suprasti, kad sukuriamas 210 ° kampas ilga horizontali linija. Todėl mūsų atsakymas yra toks:

$$ cos210 ° =-{√3}/2 $ $

#3: Žinokite, kaip išspręsti Tangentą

Galiausiai, svarbu žinoti, kaip panaudoti visą šią informaciją apie trigubą ratą, sinusą ir kosinusą, kad būtų galima išspręsti kampo liestinę.

Trig, norėdami rasti kampo gent liestinę (laipsniais arba radianais), tiesiog padalinkite sinusą iš kosinuso:

$$ tanθ = { sinθ}/{ cosθ} $$

Pavyzdžiui, tarkime, kad bandote atsakyti į šią problemą:

$ $ tan300 ° $$

Pirmasis žingsnis yra nustatyti sinuso ir kosinuso lygtį:

$$ tan300 ° = { sin300 °}/{ cos300 °} $$

Dabar, norėdami išspręsti liestinę, turime rasti sinusą ir kosinusas 300 °. Turėtumėte greitai atpažinti, kad 300 ° kampas patenka į ketvirtąjį kvadrantą, tai reiškia kosinusas, arba x koordinatė, bus teigiamas, o sinusas arba y koordinatė-neigiamas.

Jūs taip pat turėtumėte tai žinoti iš karto sukuria 300 ° kampą trumpa horizontali linija ir ilga vertikali linija. Todėl kosinusas (horizontali linija) bus lygus $ 1/2 $, o sinusas (vertikali linija) bus lygus $-{√3}/2 $ (neigiama y reikšmė, nes šis taškas yra IV kvadrante) .

Dabar, norėdami rasti liestinę, viskas, ką turite padaryti, yra prijungti ir išspręsti:

$$ tan300 ° = {-{√3}/2}/{1/2} $$

$$ tan300 ° = -√3 $$

body_cat_practicing_golf Laikas išbandyti savo matematikos įgūdžius!

Vieneto apskritimo praktikos klausimų rinkinys

Dabar, kai žinote, kaip atrodo vienetų ratas ir kaip jį naudoti, išbandykime tai, ką išmokote, atlikdami keletą praktinių užduočių.

Klausimai

  1. $ sin45 ° $
  2. $ cos240 ° $
  3. $ cos {5π} / 3 $
  4. $ tan {2π} / 3 $

Atsakymai

  1. {√2} USD / 2 USD
  2. -1 USD / 2 USD
  3. 1 USD / 2 USD
  4. $ -√3 $

Atsakykite į paaiškinimus

#1: $ sin45 ° $

Su šia problema yra dvi informacijos dalys, kurias turėtumėte nedelsdami nustatyti:

  • Atsakymas bus teigiamas, kadangi kampas 45 ° yra I kvadrante, o kampo sinusas lygus y koordinatei
  • Sukuriamas 45 ° kampas vidutinio ilgio vertikali linija (jų)

Kadangi 45 ° rodo teigiamą, vidutinio ilgio liniją, teisingas atsakymas yra {√2} USD / 2 USD.

Jei nesate tikri, kaip tai išsiaiškinti, nubraižykite diagramą, kuri padės nustatyti, ar eilutės ilgis bus trumpas, vidutinis ar ilgas.

uc davis vidutinis sat balas

#2: $ cos240 ° $

Kaip ir aukščiau 1 problema, yra dvi informacijos dalys, kurias turėtumėte sugebėti greitai suvokti:

  • Atsakymas bus neigiamas, kadangi kampas 240 ° yra III kvadrante, o kampo kosinusas lygus x koordinatei
  • Sukuriamas 240 ° kampas trumpa horizontali linija (dėl kosinuso)

Kadangi 240 ° rodo neigiamą, trumpą liniją, teisingas atsakymas yra -1–2 USD.

# 3: $ cos {5π} / 3 $

Skirtingai nuo aukščiau išvardytų problemų, ši problema naudojama radianai vietoj laipsnių. Nors tai gali atrodyti sudėtingiau išspręsti problemą, iš tikrųjų ji naudoja tuos pačius pagrindinius veiksmus, kaip ir kitos dvi problemos.

Pirma, turėtumėte suprasti, kad kampas $ {5π}/3 $ yra IV kvadrante, todėl x koordinatė arba kosinusas bus teigiamas skaičius. Jūs taip pat turėtumėte tai pasakyti{5π} USD / 3 USDsukuria trumpa horizontali linija.

Tai suteikia jums pakankamai informacijos, kad tai nustatytumėte atsakymas yra 1/2 USD.

# 4: $ tan {2π} / 3 $

Ši problema susijusi su tangentu, o ne sinusu ar kosinusu, o tai reiškia, kad mums reikės šiek tiek daugiau matematikos. Pirmiausia prisimink Pagrindinė liestinės paieškos formulė:

$$ tan θ = { sin θ} / { cos θ} $$

Dabar paimkime jums suteiktą laipsnį - $ {2π}/3 $- ir prijunkite jį prie šios lygties:

$$ tan {2π} / 3 = { sin {2π} / 3} / { cos {2π} / 3} $$

Dabar turėtumėte sugebėti spręsti sinusus ir kosinusus atskirai, naudodami tai, ką įsiminėte apie vienetinį ratą. Kadangi kampas $ {2π}/3 $ yra II kvadrante, x koordinatė (arba kosinusas) bus neigiama, o y koordinatė (arba sinusas) bus teigiama.

Be to, jūs turėtumėte sugebėti nustatyti tik horizontalųjį kampą pagal kampą trumpa eilutė, o vertikali linija yra ilga eilė. Tai reiškia, kad kosinusas yra lygus $ -1/2 $, o sinusas-$ {√3}/2 $.

Dabar, kai išsiaiškinome šias vertes, viskas, ką turime padaryti, yra prijungti jas prie pradinės lygties ir išspręsti liestinę:

$$ tan {2π} / 3 = {{√3} / 2} / {- 1/2} $$

$$ tan {2π} / 3 = -√3 $$

Įdomios Straipsniai

Marijos universiteto priėmimo reikalavimai

Klarko universiteto SAT rezultatai ir GPA

Kalifornijos menų koledžas SAT ir GPA

Dalaso baptistų universiteto priėmimo reikalavimai

Tikimybės klausimai apie ACT matematiką: strategijos ir praktika

Tikimybės problemos, susijusios su ACT matematika, klausia tikimybės, kad kažkas nutiks. Įsitikinkite, kad žinote mūsų svarbiausias strategijas, kaip spręsti šias problemas, ir praktikuokite realistinius matematikos klausimus čia.

Wingate universiteto ACT rezultatai ir GPA

Vusterio politechnikos instituto SAT balai ir GPA

Karaliaus kolegijos priėmimo reikalavimai

Trumano valstybinio universiteto priėmimo reikalavimai

Garden Grove vidurinė mokykla | 2016-17 reitingai | (Sodo giraitė,)

Raskite valstijų reitingus, SAT/ACT balus, AP klases, mokytojų svetaines, sporto komandas ir dar daugiau apie „Garden Grove“ vidurinę mokyklą „Garden Grove“, CA.

Neišsamus dominavimas prieš bendrumą: koks skirtumas?

Kuo skiriasi nepilnas dominavimas ir bendrumas? Sužinokite išsamią informaciją apie kiekvieną, lygindami kodominansą su neišsamiu dominavimu.

Ką reikia žinoti apie William C. Overfelt High School

Raskite valstijų reitingus, SAT/ACT balus, AP klases, mokytojų svetaines, sporto komandas ir dar daugiau apie William C. Overfelt High School San Chosė, CA.

Kas yra vasaros gabių institutas? Ar turėtumėte prisijungti?

Kaip veikia Vasaros gabiųjų institutas ir ar turėtumėte prisijungti? Ar turėtumėte atlikti dienos programą ar gyventi? Skaitykite išsamią apžvalgą čia.

Humboldto valstybinio universiteto priėmimo reikalavimai

Bardo koledžo priėmimo reikalavimai

William Jessup universiteto priėmimo reikalavimai

4 nuostabūs rekomendacijų laiškų pavyzdžiai studentams

Norite stiprių rekomendacijų laiškų kolegijai pavyzdžių? Čia yra 4 nuostabūs raidžių pavyzdžiai su analize, kodėl jie tokie geri.

Luizianos valstijos universiteto Šreveporto priėmimo reikalavimai

Vakarų vidurinė mokykla | 2016-17 reitingai | (Torrance,)

Raskite valstijų reitingus, SAT/ACT balus, AP klases, mokytojų svetaines, sporto komandas ir daugiau apie Vakarų vidurinę mokyklą Torrance, CA.

Kodėl rekomendacijos yra svarbios jūsų kolegijos paraiškai?

Kodėl rekomendaciniai laiškai yra tokie svarbūs jūsų kolegijos paraiškai? Sužinokite, kaip priėmimo pareigūnai juos naudoja ir kodėl turite gauti stiprias raides.

Regento universiteto SAT balai ir GPA

Kokioms vidurinių mokyklų klasėms reikia „Ivy League“ mokyklų?

Kokie yra „Ivy League“ priėmimo reikalavimai? Šiame vadove paaiškinama, kurias vidurinės mokyklos klases reikia lankyti norint patekti į „Ivy League“ mokyklą.

7 žingsniai norint tapti gydytoju: išsamus vadovas

Galvojate apie medicinos karjerą? Mūsų išsamus vadovas jums padės, kaip tapti gydytoju, nuo vidurinės mokyklos iki rezidentūros, ir pateikia ekspertų patarimų, kaip sėkmingai dirbti.

Ką pamatyti 10 geriausių Londono muziejų

Ieškote geriausių Londono muziejų? Mes siūlome 10 puikių variantų (iš kurių daugelis yra nemokami) su patarimais, kaip maksimaliai išnaudoti savo apsilankymą.

Havajų universitetas, Manoa, ACT balai ir GPA